Allgemeine Algebra und Anwendungen (German Edition) by Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend battle, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre battle, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, used to be diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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Ist Keine Klasseneinteilung einer Menge M, so bezeichnen wir die K entsprechende Äquivalenzrelation mit 0 K. Ist umgekehrt 0 eine Äquivalenzrelation in M, so schreiben wir M/0 für die Menge der Klassen der 0 entsprechenden Klasseneinteilung. M/0 heißt die Faktormenge von M nach 0. Ist M = I und 0 die durch x o y .. B. ) Die Allrelation und die identische Relation in einer Menge M (siehe Abschnitt 3) sind - wie man sofort sieht - beide Äquivalenzrelationen, genannt die tr ivialen Äqu ivalenzrelat ionen von M.

H Bei dem Beispiel des Preisvergleiches einer Ware in verschiedenen Geschäften bedeutet X I Y, daß die Ware im Geschäft X gleichviel kostet wie im Geschäft Y. Offensichtlich i s t die Relation I hier reflexiv, symmetrisch und transitiv, also eine Äquivalenzrelation. Ist in einer Halbordnung die Relation I eine Äquivalenzrelation, so heißt :5 e ine Pr äferenz r e la t i on , und wird Pr äfer enz ordnung oder sa hwaahe Ordnun g genannt . 58 Bei dem obigen Beispiel handelt es sich also um eine Präferenzrelation .

Hervorgehoben" wird . Wir müssen uns noch überlegen. daß es bei obiger Definition (im Fall n > 0) nicht auf die Wahl der Vertreter ankommen darf (ansonsten würde durch die Vorschrift 0 in M/0 auf Grund einer möglichen Mehrdeutigkeit keine Operation erklärt sein) . Angenommen. • n, Wegen b i 0 a i• und da 0 Kongruenz relation ist. b 2 . · . a 2. a n). h . b 2 ... · . a 2 . an). Wir erha lten also: 0(01. 02. ·· ·. B . M = l und 0 maßen gebildet : ä 1 +ä 2 = a 1 +a 2• 0 m• so werden die Operationen in i/0 m folgendera 1·a 2 a 1a 2• -a -a das Nullelement ist U und das Einselement T.

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